Structural Asymmetry and Rigidity of Bounded Solutions for a Parametrized Complex Linear Differential Equation

We introduce a family of parametrized non-autonomous linear complex differential equations on $[1,\infty)$, depending on a complex parameter $w$ in the strip $\Re(w)\in (0,1)$. Their dynamics encodes subtle asymptotic features of a real bounded forcing term. Under a mild integrability condition, we establish a rigidity phenomenon: for every parameter $w$ with $\Re(w) \in (0,1)\setminus\{\tfrac12\}$, the two solutions corresponding respectively to $w$ and $1-\bar w$, both taken with initial condition $1$, cannot be simultaneously bounded on $[1,+\infty)$. This result apporte une réponse à la Conjecture Dynamique formulée dans \cite{Oukil} et met en évidence une asymétrie structurelle dans la dépendance des solutions au paramètre complexe, contribuant ainsi à une meilleure compréhension du comportement qualitatif de cette classe de systèmes différentiels.